Transient Solutions of Markov Processes by Krylov Subspaces

In this note we exploit the knowledge embodied in innnitesi-mal generators of Markov processes to compute eeciently and economically the transient solution of continuous time Markov processes. We consider the Krylov subspace approximation method which has been analysed by Y. Saad for solving linear diierential equations. We place special emphasis on error bounds and stepsize control. We discuss the computation of the exponential of the Hessenberg matrix involved in the approximation and an economic evaluation of the Pad e method is presented. We illustrate the usefulness of the approach by providing some application examples. Approximation des solutions transitoires d'un processus de Markov dans des sous-espaces de Krylov R esum e : Nous nous int eressons dans cet article au calcul du r egime tran-sitoire d'un processus de Markov. Un tel probl eme n ecessite le calcul d'une exponentielle de matrice. En prenant en consid eration certaines propri et es inh erentes aux mod eles markoviens, nous examinons l'approximation dans un espace de Krylov propos ee par Y. Saad. Cela nous permet de pr eciser certaines caract eristiques th eoriques et de d eenir un algorithme able et ef-cace. Nous pr esentons des r esultats num eriques attestant de la validit e de la m ethode. Mots-cl e : Cha^ nes de Markov, exponentielle d'une matrice, espaces de Krylov, m ethode d'Arnoldi.